数论——欧几里得算法、扩展欧几里得算法 学习笔记

数论——欧几里得算法、扩展欧几里得算法

引入

最大公约数

最大公约数即为 Greatest Common Divisor,常缩写为 gcd。

一组整数的公约数,是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数;
一组整数的最大公约数,是指所有公约数里面最大的一个。

特殊的,我们定义 \(\gcd(a, 0) = a\)

最小公倍数

最小公倍数即为 Least Common Multiple,常缩写为 lcm。

一组整数的公倍数,是指同时是这组数中每一个数的倍数的数。\(0\) 是任意一组整数的公倍数;
一组整数的最小公倍数(Least Common Multiple, LCM),是指所有正的公倍数里面,最小的一个数。

互质

如果两个数 \(a\)\(b\) 满足 \(\gcd(a, b) = 1\),我们称 \(a\)\(b\) 互质。

欧几里得算法

欧几里得算法(Euclidean algorithm),是求解两个数最大公约数的最常用的算法。

算法思想

\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)

具体证明见:OI-Wiki

代码

int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

因此也有递归写法:

int gcd(int a, int b) {
    int tmp;
    while (b != 0) tmp = a, a = b, b = tmp % b;
    return a;
}

对于 C++14,我们可以使用 中的 __gcd(a,b) 函数来求最大公约数。

时间复杂度

在输入为两个长为 \(n\) 的二进制整数时,欧几里得算法的时间复杂度为 \(O(n)\)
换句话说,在默认 \(a, b\) 同阶的情况下,时间复杂度为 \(O(\log\max(a, b))\)

欧几里得算法的最劣时间复杂度情况是 \(\gcd(\operatorname{Fib}_{n + 1}, \operatorname{Fib}_n)\),其时间复杂度为 \(O(n)\)
但是,有 \(\gcd(\operatorname{Fib}_{n + 1}, \operatorname{Fib}_n) = \operatorname{Fib}_{\gcd(n + 1, n)}\)

最小公倍数

计算

\(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)

要求两个数的最小公倍数,先求出最大公约数即可。

证明

\(a = p_1^{k_{a_1}}p_2^{k_{a_2}} \dots p_s^{k_{a_s}}\)\(b = p_1^{k_{b_1}}p_2^{k_{b_2}} \dots p_s^{k_{b_s}}\)

我们发现,对于 \(a\)\(b\) 的情况,二者的最大公约数等于 \(p_1^{\min(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\min(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\min(k_{a_s}, k_{b_s})}\)

最小公倍数等于 \(p_1^{\max(k_{a_1}, k_{b_1})}p_2^{\max(k_{a_2}, k_{b_2})} \dots p_s^{\max(k_{a_s}, k_{b_s})}\)

由于 \(k_a + k_b = \max(k_a, k_b) + \min(k_a, k_b)\)
所以得到结论是 \(\gcd(a, b) \times \operatorname{lcm}(a, b) = a \times b\)

裴蜀定理

定义

\(a\)\(b\) 是不全为零的整数,则存在整数 \(x\)\(y\),使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)

推广

\(A[1 \sim n]\) 是非零整数序列,则整数序列 \(X[1 \sim n]\) 一定满足:

\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n A_iX_i = k \times \gcd(A_1, A_2, \dots, A_n)\),其中 \(k\) 为正整数。

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm,EXGCD),常用于求 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一组可行解。

算法思路

对于 \(ax + by = \gcd(a, b)\),考虑与欧几里得算法相似的思路:

结论:
求一组解 \(x'\)\(y'\),使得 \(bx' + (a \bmod b)y' = \gcd(b, a \bmod b)\)
(欧几里得定理)\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\) \(bx' + (a \bmod b)y' = \gcd(a, b)\)
(模运算的定义)\(a \bmod b = a - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times b\) \(bx' + (a - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times b)y' = \gcd(a, b)\)
整理,得 \(ay' + b(x' - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times y') = \gcd(a, b)\)

我们要求一组解,使得 \(ax + by = \gcd(a, b)\)

因此有一组解为 \(\left\{\begin{array}{l} x = y' \\ y = x' - \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor \times y'\end{array}\right.\)

其边界值为 \(b = 0\),这时有 \(ax = \gcd(a, 0) = a\),既有 \(x = 1\);为了方便起见,我们取 \(y = 0\)

即:若 \(b = 0\),则取 \(\left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 0\end{array}\right.\)

代码

来自 OI-Wiki:

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}

简化后可以写作:

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = Exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

特解到通解

假设我们现在求出了一组特解 \(x_0\)\(y_0\),使得 \(ax_0 + by_0 = \gcd(a, b)\)
接下来:

\[\begin{array}{rl} ax_0 + by_0 &= \gcd(a, b) \\ (ax_0 + H) + (by_0 - H) &= \gcd(a, b) \\ a(x_0 + H / a) + b(y_0 - H / b) &= \gcd(a, b) \end{array} \]

可以看出 \(H\) 即是 \(a\) 的倍数,又是 \(b\) 的倍数,
所以 \(H = k \times \operatorname{lcm}(a, b)\),其中 \(k\) 可以是任意整数。

即:\(\left\{\begin{array}{l} x = x_0 + k \times \dfrac{\operatorname{lcm}(a, b)}{a} \\ y = y_0 + k \times \dfrac{\operatorname{lcm}(a, b)}{b}\end{array}\right.\). 其中 \(k \in \mathbb{Z}\).

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/number-theory/bezouts/
[2] https://oi-wiki.org/math/number-theory/gcd/

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