素数与第素数个素数的和能生成$10^7$内的所有偶数

2024-03-01 00:42 由新手级民科发表于 #其他

加性组合中，两个集合 $A$、$B$ 的加法集或和集 $A+B$ 定义为$A$中任意元素 $a_i$ 与 $B$ 中任意元素 $b_j$ 之和 $a_i+b_j$ 构成的集合，用 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的数量，则有

\[|A|+|B|-1\le |A+B|\le |A|\cdot|B| \]

$n$以内素数的数量 $|P(n)|\simeq\frac{n}{\log n}$，根据哥德巴赫猜想，所有4以上的偶数都可表示为两个素数之和，这至少意味着素数集和集的元素数量 $|P+P|\simeq n$。事实上这是一个比较宽松的猜想，即使取素数集中的一个子集就有可能覆盖所有偶数，例如根据杜伯纳猜想，所有4208以上的偶数都能表示成两个孪生素数之和，这意味着$n$以内孪生素数集的元素数量至少达到了$\sqrt{n}$。

那么，能不能用整个素数集与另一个更小的集合求和集，来覆盖偶数集呢？最优情况是选一个 $n$ 以内元素数量只有 $\log n$ 的集合（类似等比数列），使得达到和集元素数量的理论上限。但经过部分程序验证，单独的等比数列 $a_{i+1}=a_iq$ 和类等比递推数列 $a_{i+1}=a_iq+d$ 是不行的，也许几个等比数列的组合可以，待继续验证。

在探究过程中，一个新的发现是素数集
P=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43...]
和第素数个素数构成的集合
PP=[3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, ...]
的和集 $P+PP$ 可生成 $[6,10^7]$ 的全部偶数，更大范围由于本人的电脑原因尚未验证。感觉这个发现比较有价值，特发出来让大家一起讨论。

本人编程所用的Python代码如下：

from time import time

def getPrimeSet_List_isPrime(n=10**6):
    """
    同时生成n以内的素数集合方便查找、isPrime数组方便o(1)查找、primeList方便遍历
    """
    n=max(2,n+1)
    isPrime=[True]*n
    isPrime[0]=False
    isPrime[1]=False
    for i in range(1,n,1):
        if isPrime[i]:
            for j in range(i*i,n,i):
                isPrime[j]=False
    primeList=[i for i in range(n) if isPrime[i]]
    primeSet=set(primeList)
    return primeSet,primeList,isPrime

def 素数集与第素数个素数的和集能否覆盖n以内所有奇数或偶数(n=10**3,idxOffset=-1):
    """
    验证素数集与第素数个素数的和集能覆盖多少奇数、偶数
    n     idxOffset    奇数未覆盖率  偶数未覆盖率
    10^4  0          1            0.0008 [2, 4, 6, 70]
    10^5                          8e-5      ...
    10^6                          8e-6      ...
    10^5  -1(从primeList[2-1]=3)开始       [2,4]
    10^6      ...                           ..
    """
    startTime=time()
    primeSet,primeList,isPrime=getPrimeSet_List_isPrime(n)
    print(f"{n=},{idxOffset=}")
    print(f"primeList={primeList[:50]}")
    pprimes=[primeList[i+idxOffset] for i in primeList if i+idxOffset<len(primeList)]
    print(f"primeprimeList={pprimes[:50]}")
    isCovered=[False]*(n+1)
    for i in primeList[1:]:
        for j in primeList:
            if j+idxOffset>=len(primeList) or i+primeList[j+idxOffset]>n:
                break
            isCovered[i+primeList[j+idxOffset]]=True
    uncoverdOddNums=[i for i in range(1,n,2) if isCovered[i]==False]
    uncoverdEvenNums=[i for i in range(2,n,2) if isCovered[i]==False]
    print(f"未覆盖偶数:{uncoverdEvenNums[:50]}...{uncoverdEvenNums[-50:]}")
    print(f"奇数未覆盖率{len(uncoverdOddNums)*2/n},偶数未覆盖率{len(uncoverdEvenNums)*2/n}")
    print(f"运行时间{time()-startTime}s")
    return uncoverdOddNums,uncoverdEvenNums

if __name__=="__main__":
    素数集与第素数个素数的和集能否覆盖n以内所有奇数或偶数()

程序采用双重循环暴力遍历，时间复杂度约为$O\left(\frac{n^2}{(\log n)^3}\right)$，验证到 $n=10^6$ 时程序运行时间已达4分钟，后来改用了C++程序验证，效率得以百倍提升，5分钟内检查完了 $n=10^7$ 内的全部偶数。移植到C++后的代码如下：

#include<vector>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
using ull=unsigned long long;
void printVector(vector<ull>&arr,ull startIdx=0,ull maxLen=50){
    cout<<"{";
    for(ull i=fmax(0,startIdx);i<fmin(arr.size(),startIdx+maxLen);i++){
        cout<<arr[i]<<",";
    }
    cout<<"};"<<endl;
    return;
}

vector<ull>genePrimeList(ull n=10e+6){
    n++;
    vector<bool>isPrime(n,true);
    vector<ull>primeList;
    for(ull i=2;i<n;i++){
        if(isPrime[i]){
                primeList.emplace_back(i);
            for(ull j=i*i;j<n;j+=i){
                isPrime[j]=false;
            }
        }
    }
    return primeList;
}

vector<ull>primesAndPrimeOfPrimeIndexCoverEvenNumber(ull n=1e+6,int indexOffset=-1){
    /**
    n是查找范围上限
    indexOffset调整第素数个素数的索引，使变成第(素数+indexOffset)个素数
    10^7内，只有【2,4】未被覆盖
    */
    cout<<"n="<<n<<",indexOffset="<<indexOffset<<endl;
    vector<bool>isCovered(n+1,false);
    vector<ull>primeList=genePrimeList(n),pprimes;
    cout<<"primeList="<<endl;
    printVector(primeList);
    ull pn=primeList.size();
    ull val;
    /*
    for(auto idx:primeList){
        if(idx+indexOffset>=pn){
            break;
        }
        pprimes.emplace_back(primeList[idx+indexOffset]);
    }
    cout<<"primeprimeList="<<endl;
    printVector(pprimes);
    */
    for(ull i=1;i<pn;i++){
        for(auto idx:primeList){
            val=primeList[i]+primeList[idx+indexOffset];
            if(idx+indexOffset>=pn || val>n){
                break;
            }
            isCovered[val]=true;
        }
    }
    vector<ull>uncoveredEvenNumber;
    for(ull i=2;i<=n;i+=2){
        if(isCovered[i]==false){
            uncoveredEvenNumber.emplace_back(i);
        }
    }
    cout<<"uncoveredEvenNumber head="<<endl;
    printVector(uncoveredEvenNumber);
    cout<<"uncoveredEvenNumber end="<<endl;
    printVector(uncoveredEvenNumber,uncoveredEvenNumber.size()-50);
    return uncoveredEvenNumber;
}

int main(){
    int n=1e+8;
    primesAndPrimeOfPrimeIndexCoverEvenNumber(n);
    return 0;
}

由于电脑性能与算法复杂度原因，个人验证更大的偶数已经不太方便了，希望大家讨论一下有没有时间复杂度更低的算法，或者用更好的电脑帮忙验证一下对于 $10^7$ 以上的大偶数，这个猜想（每个 $4$ 以上的偶数可以表示为一个素数和一个“第素数个素数”之和）是否仍正确。

也许这个猜想已经有人以前说过了，有知道的的话麻烦说一下。

即使最终被验证在更大范围内不正确，也已经是个有趣的巧合了。